Base 10 (base décimale)

Chiffres autorisés : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Un exemple : Dans l'entier 234, 2 est le chiffre des centaines, 3 le chiffre des dizaines et 4 celui des unités. Ainsi, on écrit :
234 = 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1 = 2 × 10² + 3 × 10¹ + 4 × 10⁰.

Application 1 : Écrire le nombre 95 670 suivant des puissances de 10.

Base 2 (base binaire)

"Le système binaire est le système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération binaire positionnelle. Un bit peut prendre deux valeurs, notées par convention 0 et 1.

Le système binaire est utile pour représenter le fonctionnement de l'électronique numérique utilisée dans les ordinateurs. Il est donc utilisé par les langages de programmation de bas niveau."*

Chiffres autorisés : 0 et 1.

1. Passer de la base 10 à la base 2

Activité 1 : Trouver l'écriture en base deux de 13 donné en base dix.

Méthode : On procède par divisions entières successives jusqu'à ce que l'on trouve un quotient nul.

Ainsi, 13 en base 2 est la suite des restes (en partant de la droite) de la division de 13 par 2.

On écrit : 13 = \(\overline{1101}\)₂ = 1101₂
Et lit un, un, zéro et un en base 2.

Application 2 : Exprimer en binaire l’entier 235 donné en base 10.

2. Passer de la base 2 à la base 10

Activité 2 : Trouver la représentation en base dix de l’entier 1010110₂ donné en base deux.

Méthode : On écrit le nombre donné suivant des puissances de 2 puis on effectue l’opération ainsi obtenue.

• On compte le nombre de chiffres de l'entier donné en base 2 ;
  Le nombre 1010110₂ est composé de 7 chiffres ; donc la plus grande puissance de 2 est 7-1, soit 6.
• On écrit ensuite 1010110₂ suivant des puissances de 2
  Ainsi, 1010110₂ = 0 × 2⁰ + 1 × 2¹ + 1 × 2² + 0 × 2³ + 1 × 2⁴ + 0 × 2⁵ +1 × 2⁶
• On effectue enfin, l'opération obtenue.
  On trouve : 1010110₂ = 86 en base 10.

Application 3 : Donner la représentation en base dix de l’entier 10001001₂ exprimé en binaire.

Base 16 (base hexadécimale)

Chiffres autorisés : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F

avec A = 10₁₀ ; B = 11₁₀ ; C = 12₁₀ ; D = 13₁₀ ; E = 14₁₀ et F = 15₁₀

1. Passer de la base 10 à la base 16

Activité 3 : Convertir en base seize l’entier 235 donné en base dix.

Méthode : On procède par divisions entières successives par 16 jusqu'à ce que l'on trouve un quotient nul.

Ainsi, 235 en base 16 est la suite des restes (en partant de la droite) de la division par 16 de 235, sachant que 14 = E et 11 = B.

On écrit : 235 = \(\overline{EB}\)₁₆ = EB₁₆

Application 4 : Écrire en base seize l’entier 2023 exprimé en base 10.

2. Passer de la base 16 à la base 10

Activité 4 : Trouver la représentation en base dix de l’entier 450A₁₆ donné en hexadécimal.

Méthode : On écrit le nombre suivant des puissances de 16 puis on effectue l’opération.

Ainsi, 450A₁₆ = 10 × 16⁰ + 0 × 16¹ + 5 × 16² + 4 × 16³ = 17 674.

On écrit : 450A₁₆ = 17 674

Application 5 : Donner l'écriture en décimal de l’entier 23156₁₆.